Vous vous êtes toujours demandés si fallait être fort en maths pour réussir à finir le Rubik's Cube ?? On vous a souvent dit que non ?? Eh ben ils n'ont pas totalement raison. Car la réponse est : Oui et Non. Il n 'y a pas de maths à comprendre pour le terminer, mais le cube a aussi ses maths. Je te laisse découvrir...
Calcul du nombre de combinaisons possibles pour un rubik's cube
Le rubik's cube est composé de 12 arêtes et 8 coins et de 6 centres. On va prendre les centres comme point de repère, de plus une rotation sur lui même d'un centre n'a aucune conséquence sur le cube, on ne va donc pas les considérer.
-Les 12 arêtes peuvent chacunes s'orienter dans deux directions. La direction de la dernière arête est fixée par la direction des arêtes précédentes, cela nous donne donc 211 possibilités d'orientations des arêtes.
-Les 8 coins peuvent chacun s'orienter dans trois directions. La direction du dernier coin est fixée par la direction des coins précédents, cela nous donne donc 37 possibilités d'orientations des coins.
-Les 12 arêtes peuvent se répartir dans 12 emplacements. Cela nous donne donc 12! possibilités de placement des arêtes.
-Les 8 coins peuvent se répartir dans 8 emplacements. Cela nous donne donc 8! possibilités de placement des coins. Mais il n'est pas possible d'échanger 2 coins ou deux arêtes seulement (mais il est possible d'échanger deux coins ET deux arêtes seulement), les derniers deux coins n'ont donc pas deux solutions pour se placer mais une seule et le resultat est divisé par deux. On va répercuter cette division par deux dans le 211 qui va devenir 210.
On arrive donc a un total de 12!*8!*37*210 = 479 001 600 * 40 320 * 2 187 * 1 024 = 43 252 003 274 489 856 000.
Pour info, la décomposition en facteurs premier donne : 227*314*53*72*11 = 134 217 728 * 4 782 969 * 125 * 49 * 11 = 43 252 003 274 489 856 000.
En francais, ce nombre est : quarante-trois milliards deux-cents cinquante-deux millions trois-mille deux-cents soixante-quatorze de milliards quatre-cents quatre-vingts-neuf millions huit-cents cinquante-six mille.
Certains rubik's cubes ont des dessins sur les faces. L'orientation des centres devient alors importante et il faut multiplier le resultat précédent par 2*45 = 211 = 2 048 car l'orientation du dernier centre est fixée par celle des autres centres au demi-tour près. On arrive donc à 12!*221*8!*37 = 479 001 600 * 2 097 152 * 40 320 * 2 187 = 88 580 102 706 155 225 088 000.
Calcul du nombre d'algorithmes en n coups
Le rubik's cube possède 6 faces qui peuvent être tournées dans un sens, dans l'autre, et faire des demis tours. Cela nous fait donc 6*3 = 18 coups existants. Mais lorsqu'on a tourné une face, on aboutit à rien si on retourne cette face. Il faut donc qu'après le premier coup, on se limite à 18-3 = 15 possibilités de rotations. Le nombre d'algorithmes en n coups est donc de 18*15n. Autant dire que l'arrivée des ordinateurs dans le monde du rubik's cube a permis une très nette avancée dans la découverte des algorithmes intéressants. Il est aussi à noter que beaucoups de ces algorithmes peuvent revenir au même, notamment les algorithmes de periode 2 et leur inverse et tous les algorithmes dans lesquels ils sont inclus et les algorithmes équivalents. Ce calcul n'a donc aucun lien avec le nombre de positions différentes que vous atteindrez en n coups, mais le nombre de façons différentes que vous aurez à votre disposition pour les atteindre.
